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c++入门必学算法 质数筛

文章目录

  • 一、什么是质数筛
  • 二、暴力枚举
    • 1、暴力枚举基本思想:
    • 2、模板代码
    • 3、运行结果
  • 三、埃氏筛
    • 1、埃氏筛基本思想:
    • 2、模板代码
    • 3、运行结果
  • 四、欧拉筛
    • 1、对比埃氏筛
    • 2、欧拉筛的基本思想
    • 3、模板代码
    • 3、运行结果
  • 五、总结

一、什么是质数筛

质数筛也叫素数筛,是求1到n之内素数的优化算法,质数筛有两种,埃氏筛和欧拉筛。

埃氏筛的时间复杂度接近O(n*logn),而欧拉筛可以把复杂度降低到O(n),下面看两种算法的到底是如何一步步优化的吧

二、暴力枚举

暴力法求解复杂度O(n)*n\sqrt{n}n,是新手必学的算法,能解决小数据的素数判断

1、暴力枚举基本思想:

从1到n枚举每一个数,判断每个数是不是素数。质数的定义就是只能被1和自身整除的数字,例如2、3、5、7、11、13…等等,对于每一个数,我们只需要判断这个定义即可

2、模板代码

#include<iostream>
#include<cmath>//需要用到sqrt()函数 
using namespace std;//判断素数
bool prime(int val){
//     1-3的值需要特判,因为我们循环判断只判断到sqrt(val),1-3是判断不了的if(val==1)return 0;if(val==2||val==3)return 1;
//     为什么只要判断到sqrt(val)?
//     例如一个数8,它的因数有1、2、4、8,可以发现1<2<sqrt(8)<4<8
//     所以我们只要判断小于sqrt(8)的数就可以了,因为因数都是成对出现的for(int i=2;i<=sqrt(val);i++){
//         如果被整除了,那么该数一定不是素数,返回0if(val%i==0)return 0;}
//     如果是素数就返回1return 1;
}int main(){int n;cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++){
//         如果返回值是1,那么该数是素数,输出即可if(prime(i)==1){cout<<i<<' ';}}
}

3、运行结果

输入:
100
输出:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

三、埃氏筛

埃氏筛复杂度接近O(n)*log⁡n\log nlogn,是比较容易理解、容易学习的算法

1、埃氏筛基本思想:

如果一个数是素数,那么它的倍数就不是素数。

例如:
2是素数,那么4、6、8、10、12…都不是素数

3是素数,那么6、9、12、15、18…都不是素数

4不是素数,在2的时候已经知道4不是素数了,我们不必重复说明8、12、16…等等不是素数,因为这些数在2的时候已经可以证明它们不是素数了

5没有被2、3、4标记为它不是素数,那么就说明5不能被2、3、4整除,哪么就说明5是素数

6被在3的时候被标记为不是素数了,直接跳过

7和5一样,没有被2、3、4、5、6标记为不是素数,那么7就是素数,而14、21、28…都不是素数

以上就是埃氏筛的基本思想,我们模拟上面的过程即可快速求出1到n所有的素数

2、模板代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
//	  f[i]=1代表i不是素数,f[i]=0代表i是素数 int f[100010]={1,1};int n;cin>>n;
//    埃氏筛 for(int i=2;i<=n;i++){if(f[i]==1)continue;for(int j=2;i*j<=n;j++){f[i*j]=1;}}
//    打印 for(int i=0;i<=n;i++){if(f[i]==0){cout<<i<<' ';}}
}

3、运行结果

输入:
100
输出:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

四、欧拉筛

欧拉筛又叫线性筛,可以把问题时间复杂度优化到O(n)。是求范围内素数最好用的算法

1、对比埃氏筛

埃氏筛的复杂度为什么达不到O(n)呢?因为它在标记不是素数的时候存在大量的重复操作。

例如:
12,它在2、3的时候都被标记了1次
30,它在2、3、5的时候都被标记了1次

欧拉筛的巧妙之处在于它能去掉重复的标记

2、欧拉筛的基本思想

保证每个数只被除1以外最小的质因数标记

例如:
12,它有质因数2、3,那么它只被2标记
15,它有质因数3、5,那么它只被3标记
30,它有质因数2、3、5,那么它只被2标记

实现:
(1) 需要用一个数组 p[n] 把找到的素数存下来

(2) 我们需要逆向思考,从最大的因数找到最小的质因数,例如12,我们通过6,找到质因子2,即当我们处理6的时候需要把12给标记为不是素数

(3)处理一个数时我们遍历每一个已经有的质数,当该质数是该数的因数是退出,因为对于后面的数来说,该数不是最大的因数了!这一步是有点难理解的,慢慢来,多推敲几遍

第三点理解:
例如当前的数是9,那么此时已经找出了质数2、3、5、7
遍历这些质数,那么9*2=18不是质数,9*3=27不是质数,9*5=45不是质数,9*7=63也不是质数,但实际上我们在更新完 27 之后就应该退出了,而不去更新45和63。

因为9并不是45的最大因数,15才是,即这个数在处理15的时候会被标记的,如果现在标记就会出现无用的标记了。

63也是一样的道理,它的最大因数是21,即这个数在处理21的时候会被标记。

为什么处理9的时候,3之后的5、7,最大的因数都不是9?而3和3之前最大因数都是9呢?

我们可以把3当作桥梁,因为3是9的因数,遍历5、7时,9*5可拆分为3*3*5=3*15,9*7可拆分为3*3*7=3*21,而2、3都是不可分的,29、39,最大的因数就是9,它们的数值应该在此时更新为不是素数

3、模板代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){int d=0;int p[100010]={0};int f[100010]={1,1};int n;cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++){if(f[i]==0){//如果没被标记过,那么i是质数 p[d++]=i;}for(int j=0;j<d;j++){if(p[j]*i<=n){//标记以i为最大因数的数为不是素数(除了1和本身) f[p[j]*i]=1;}if(i%p[j]==0){//如果p[j]是i的因数,那么后面的数都不是以i为最大因数的 break;}}}for(int i=0;i<d;i++){//打印1到n的质数 cout<<p[i]<<' ';}} 

3、运行结果

输入:
100
输出:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

五、总结

埃氏筛的实现原理是比较简单的,使用的场景也比较广泛,但在个别的竞赛题中会卡这点时间,必须使用欧拉筛。

欧拉筛理解的过程是有点难的,但在真正理解之后思路会非常清晰,看不懂就多看两遍

加油咯!兄弟萌

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